Question

某幾何體的一條棱長(zhǎng)為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長(zhǎng)為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a和b的線段，求a+b的最大值．

Answer 1

解：如圖，把已知幾何體長(zhǎng)為的棱看做某一個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線，設(shè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線A₁C=，則它的正視圖的投影長(zhǎng)為，側(cè)視圖的投影長(zhǎng)為B₁C=a，俯視圖投影長(zhǎng)為A₁C=b，
則，即a²+b²=8．
∵a²+b²≥2ab，∴2（a²+b²）≥（a+b）²，∴=2，當(dāng)且僅當(dāng)“a=b=2”時(shí)取等號(hào)．
∴a+b≤4，即a+b的最大值為4．
分析：如圖，把已知幾何體長(zhǎng)為的棱看做某一個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線，設(shè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線A₁C=，則它的正視圖的投影長(zhǎng)為，側(cè)視圖的投影長(zhǎng)為B₁C=a，俯視圖投影長(zhǎng)為A₁C=b，由長(zhǎng)方體的對(duì)角線與三條面對(duì)角線的關(guān)系，即可得到a、b滿(mǎn)足的關(guān)系式，進(jìn)而利用基本不等式的性質(zhì)即可求出答案．
點(diǎn)評(píng)：把已知長(zhǎng)為的棱看做某一長(zhǎng)方體的對(duì)角線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．