Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+

2a2

x

+x．（a≠0）．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-2y=0垂直，求實數(shù)a的值；
（2）若a＞0，求f（x）的最小值g（a）；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上求證：g（a）≥-e^-4．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-2y=0垂直，可得f′（1）=-2，由此可得實數(shù)a的值；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的符號確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出極值點，得到極小值即最小值；
（3）對（2）中求出的g（a）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值，即可證得g（a）≥-e^-4．

解答： （1）解：f（x）的定義域為{x|x＞0}，f′（x）=

a

x

-

2a2

x2

+1（x＞0），
根據(jù)題意，有f′（1）=-2，
∴2a²-a-3=0，解得a=-1或a=

3

2

；
（2）解：由（1）得，f′（x）=

(x-a)(x+2a)

x2

（x＞0）．
當a＞0時，∵x＞0，
由f′（x）＞0得（x-a）（x+2a）＞0，解得x＞a；
由f′（x）＜0得（x-a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜a．
∴函數(shù)f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，a）上單調(diào)遞減．
∴f（x）在（0，+∞）上有極小值，也就是最小值為g（a）=a（lna+3）；
（3）證明：由（2）知，g（a）=a（lna+3），
g′（a）=lna+3+a•

1

a

=lna+4．
令g′（a）=0，得a=e^-4．
當0＜a＜e^-4時，g′（a）＜0，函數(shù)g（a）在（0，e^-4）上為減函數(shù)；
當a＞e^-4時，g′（a）＞0，函數(shù)g（a）在（e^-4，+∞）上為增函數(shù)．
∴g（a）在（0，+∞）上有唯一極值點，且是極小值點，從而也是g（a）的最小值點．
∴g(a)min=e-4(lne-4+3)=-e-4．
∴g（a）≥-e^-4．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查了計算能力，是壓軸題．