Question

已知(1+2x+3x2)(x+

1

x2

)n的展開式中沒有常數(shù)項，n∈N^*且2≤n≤8，則n的值共有（　�。�

A．1個

B．2個

C．4個

D．0個

Answer 1

分析：先將問題轉(zhuǎn)化成二項式的展開式中沒有常數(shù)項，利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數(shù)為0得常數(shù)項，轉(zhuǎn)化成方程無解．

解答：解：∵已知(1+2x+3x2)(x+

1

x2

)n的展開式中沒有常數(shù)項，n∈N^*且2≤n≤8，∴(x+

1

x2

)n的展開式中不含常數(shù)項，不含x^-1項，不含x^-2項．
而 (x+

1

x2

)n的展開式通項公式為 T_r+1=

C

r n

 x^n-r x^-2r=

C

r n

 x^n-3r．
由題意可得，當(dāng)n∈N^*且2≤n≤8，方程組

n-3r=0 n-3r=-1 n-3r=-2

無解，經(jīng)檢驗，n的值不存在，
故選D．

點評：本題考查數(shù)學(xué)中的等價轉(zhuǎn)化的能力和利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項，屬于中檔題．