Question

已知-1≤a≤1，解關(guān)于x的不等式：ax²-2x+a＞0．

Answer 1

分析：針對(duì)a的值，分類討論①當(dāng)a=0時(shí)，②當(dāng)a=-1時(shí)，③當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，④當(dāng)0＜a＜1時(shí)，⑤當(dāng)a=1時(shí)，最后綜合可得．

解答：解：①當(dāng)a=0時(shí)，原式化為-2x＞0，即x＜0；a≠0時(shí)，△=（-2）²-4a²=4（1+a）（1-a）…（1分）
②當(dāng)a=-1時(shí)，△=0，原式化為-（x+1）²＞0，即 （x+1）²＜0，∴x∈∅…（2分）
③當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，△＞0，方程ax²-2x+a＞0的根為x_1、2=

2± 4(1-a2)

2a

=

1± (1-a2)

a

，
∴

1+ (1-a2)

a

＜x＜

1- (1-a2)

a

…（6分）
④當(dāng)0＜a＜1時(shí)，結(jié)合③知，x＜

1- (1-a2)

a

或x＞

1+ (1-a2)

a

…（10分）
⑤當(dāng)a=1時(shí)，原式化為x²-2x+1＞0，即（x-1）²＞0，∴x∈R，且x≠1…（11分）
總之，原不等式的解集為：當(dāng)a=-1時(shí)，x∈∅；當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，x∈（

1+ (1-a2)

a

，

1- (1-a2)

a

）；
當(dāng)a=0時(shí)，x∈（-∞，0）；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x∈（-∞，

1- (1-a2)

a

）∪（

1+ (1-a2)

a

，+∞）；
當(dāng)a=1時(shí)，{x|x∈R，且x≠1}…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查含參數(shù)的不等式的解法，熟練的分類討論是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．