Question

已知拋物線(xiàn)y=

3

3

x²+

2 3

3

x-

3

與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）求證：△ABC為直角三角形；
（2）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在點(diǎn)M，使△BCM為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖2，若△OBC沿x軸以每秒1個(gè)單位向左平移，當(dāng)點(diǎn)C正好移動(dòng)到拋物線(xiàn)上時(shí)，停止移動(dòng)，求移動(dòng)過(guò)程中△OBC和△AOC重疊部分的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）把拋物線(xiàn)向上平移

2 3

3

個(gè)單位，然后再向右平移m個(gè)單位，若平移后拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)恰好在△ABC內(nèi)部，請(qǐng)直接寫(xiě)出m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,作圖題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意寫(xiě)出A（-3，0）；B（1，0），C（0，-

3

）；從而證明斜率之積為-1即可；
（2）觀察可知點(diǎn)M（-1，0）；
（3）由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1；C（0，-

3

）；故點(diǎn)C正好移動(dòng)到點(diǎn)（-2，-

3

）時(shí)停止移動(dòng)；故t≤2，分0≤t≤1，與1≤t≤2討論；
（4）按平移過(guò)程找到平移后的頂點(diǎn)，從而解得．

解答： 解：（1）證明：y=

3

3

x²+

2 3

3

x-

3

=

3

3

（x+3）（x-1）；
故A（-3，0）；B（1，0），C（0，-

3

）；
則K_AC•K_BC=

- 3

3

•

- 3

-1

=-1；
故∠ACB=90°，
故△ABC為直角三角形；
（2）如右圖，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1；
故易知當(dāng)M（-1，0）時(shí)，
△BCM為等邊三角形，
故M（-1，0）；
（3）∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1；C（0，-

3

）；
故點(diǎn)C正好移動(dòng)到點(diǎn)（-2，-

3

）時(shí)停止移動(dòng)；
①當(dāng)0≤t≤1時(shí)，
S=

1

2

×1×

3

-

1

2

×（1-t）×

3

×（1-t）-

1

2

×（

3

-

3

3-t

3

）×sin30°×（

3

-

3

3-t

3

）×cos30°
=

3 t(24-13t)

24

；
當(dāng)1＜t≤2時(shí)，
S=

1

2

×1×

3

-

1

2

×（

3

-

3

3-t

3

）×sin30°×（

3

-

3

3-t

3

）×cos30°
=

3

24

（12-t²）；
故S=

3 t(24-13t) 24 ，0≤t≤1 3 24 (12-t2)，1＜t≤2

；
（4）原拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為（-1，-

4 3

3

），向上平移

2 3

3

個(gè)單位后得（-1，-

2 3

3

），然后再向右平移m個(gè)單位后得（-1+m，-

2 3

3

），
由

2 3 3

3

=

1-x

1

得，x=

1

3

；
故-1+m＜

1

3

，
故m＜

4

3

；
故0＜m＜

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線(xiàn)的應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于難題．