Question

已知函數(shù)g（x）=1+

2

2x-1

．
（1）用定義證明函數(shù)g（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)；
（2）求g（x）在（-∞，-1]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，先在所給區(qū)間上任設(shè)兩個(gè)數(shù)并確定好大小，然后通過(guò)作差法即可獲得自變量對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系，由定義即可獲得問(wèn)題的解答；
（2）由第（1）問(wèn)，函數(shù)g（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，故函數(shù)g（x）在（-∞，-1]上為減函數(shù)，因此當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)g（x）取最小值．

解答： 解：（1）證明：（1）設(shè)x₁＜x₂＜0，
則g（x₁）-g（x₂）=1+

2

2x1-1

-（1+

2

2x2-1

）=

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

，
∵x₁＜x₂＜0，∴2^x₂-2^x₁＞0且2^x₁-1＜0，2^x2-1＜0，∴

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0即g（x₁）＞g（x₂）
∴g（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)．
（2）∵函數(shù)g（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）在（-∞，-1]上為減函數(shù)，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，g(x)min=g(-1)=1+

2

2-1-1

=-3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)單調(diào)性的定義、作差法、函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)最值的關(guān)系，屬于中檔題．