Question

如圖所示的多面體V-ABCD，它的正視圖為直角三角形，側(cè)視圖為等腰三角形，俯視圖的邊界為正方形（尺寸如圖所示，單位：cm）．
（I）求多面體V-ABCD的表面積；
（II）設(shè)

VE

=λ

VB

，是否存在實數(shù)λ使得平面VCD與平面EAC所成的銳角為30°？若存在，求出實數(shù)λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）多面體V-ABCD的表面積為S_△VAB+S_{正方形ABCD}+S_△VAD+S_△VCD，即可得到結(jié)論；
（II）設(shè)AB，CD的中點為O，F(xiàn)，連接VO，OF，則OB，OF，OV兩兩垂直，以O(shè)為原點，OB，OF，OV所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，確定平面VCD與平面EAC的法向量，利用平面VCD與平面EAC所成的銳角為30°，即可求得結(jié)論．

解答：解：（I）由題意，S_△VAB=

1

2

×2×2=2，S_{正方形ABCD}=2×2=4
在△VBC中，BC=2，VB=

5

，且VB⊥BC，∴S_△VBC=

1

2

×2×

5

=

5

同理可得S_△VAD=

1

2

×2×

5

=

5

在△VCD中，VC=VD=3，CD=2，∴S_△VCD=

1

2

×2×2

2

=2

2

∴多面體V-ABCD的表面積為6+2

5

+2

2

；
（II）設(shè)AB，CD的中點為O，F(xiàn)，連接VO，OF，則OB，OF，OV兩兩垂直，以O(shè)為原點，OB，OF，OV所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系
則A（-1，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（-1，2，0），V（0，0，2），E（

1

2

，0，1）
設(shè)平面VCD的一個法向量為

n

=（x，y，z）
∵

VC

=（-1，-2，2），

CD

=（-2，0，0）
∴由

n • VC =0 n • CD =0

可得

-x-2y+2z=0 -2x=0

，∴可取

n

=（0，1，1）
設(shè)平面EAC的一個法向量為

m

=（x′，y′，z′）
∵

VE

=λ

VB

=（λ，0，-2λ），

VA

=（-1，0，-2）
∴

EA

=

VA

-

VE

=（-1-λ，0，2λ-2）
∵

AC

=（2，2，0）
∴

(-1-λ)x′+(2λ-2)z′=0 2x′+2y′=0

，∴可取

m

=（2λ-2，-2λ+2，λ+1）
∵平面VCD與平面EAC所成的銳角為30°
∴cos＜

m

，

n

＞=

|-λ+3|

2 • (2λ-2)2+(-2λ+2)2+(λ+1)2

=

3

2

∴25λ²-30λ+9=0
∴λ=

3

5

∴存在λ=

3

5

，使得平面VCD與平面EAC所成的銳角為30°

點評：本題考查多面體的表面積，考查向量知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．