Question

求通過直線l：2x＋y＋4＝0及圓C：x²＋y²＋2x－4y＋1＝0的交點(diǎn)，并且有最小面積的圓的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：畫出如圖示意圖，圓C的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝4． 　　設(shè)直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，由斜率為，過定點(diǎn)(－1，2)，得直線CD的方程為x－2y＋5＝0， 　　 　　∵以D為圓心，AB為直徑的圓是面積最小的圓， 　　∴所求方程是(x＋)2＋(y－)2＝． 　　解法二：設(shè)圓的方程是(x2＋y2＋2x－4y＋1)＋λ(2x＋y＋4)＝0，即[[x＋(1＋λ)]] 　　 　　∴當(dāng)λ＝時(shí)，圓面積最小，此時(shí)圓的方程是5x2＋5y2＋26x－12y＋37＝0． 　　思路分析：對(duì)于直線與圓的位置關(guān)系，一般不求直線與圓的交點(diǎn)，而用圓心到直線距離來(lái)處理直線與圓的問題．

提示：

圓中的最值問題一般都要利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解．根據(jù)圓的性質(zhì)，尋找最值取得的條件而求解，涉及所求的圓是經(jīng)過直線與圓或圓與圓的交點(diǎn)時(shí)，也可利用圓系方程來(lái)求解，這樣將較為簡(jiǎn)便．