Question

已知點(diǎn)P（0，5）及圓C：x²+y²+4x-12y+24=0．
（1）若直線l過P且與⊙O的圓心相距為2，求l的方程；
（2）求過P點(diǎn)的⊙C的弦的中點(diǎn)軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先整理出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)圓心到L距離看直線直線斜率不存在解得l的方程，正好符合題；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程y-5=kx根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，求的k，進(jìn)而可得直線的方程，綜合可得答案．
（2）先求得圓心O的坐標(biāo)和PO中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直角三角形中線的性質(zhì)可知，過P點(diǎn)的⊙C的弦的中點(diǎn)軌跡是以PO中點(diǎn)為圓心，以|PO|為半徑的圓，進(jìn)而可得圓的方程．
解答：解：（1）整理圓的方程得（x+2）²+（y-6）²=16
圓心（-2，6），半徑=4
圓心到L距離是2
若直線斜率不存在
則是x=0，（-2，6）到x=0距離是2，成立
若斜率存在
設(shè)直線的y-5=kx
即kx-y+5=0
所以=2
平方
4k²+4k+1=4k²+4
∴k=
所以x=0或3x-4y+20=0
（2）由P（0，5），O（-2，6），PO中點(diǎn)坐標(biāo)（-1，）設(shè)弦中點(diǎn)為M，則∠PMO=90°
由此可知過P點(diǎn)的⊙C的弦的中點(diǎn)軌跡是以PO中點(diǎn)為圓心，以|PO|為半徑的圓，
∵|PO|==
∴過P點(diǎn)的⊙C的弦的中點(diǎn)軌跡方程為（x+1）²+（y-）²=，
又此方程是弦中點(diǎn)的軌跡方程，故應(yīng)為在圓C：x²+y²+4x-12y+24=0內(nèi)部的部分．
點(diǎn)評：本題主要考查了軌跡方程問題．題中關(guān)鍵是運(yùn)用了定義法求軌跡