Question

如圖，△ABC是某屋頂?shù)臄嗝�，CD⊥AB，橫梁AB的長(zhǎng)是豎梁CD長(zhǎng)的2倍．設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)使y=tanA+2tanB保持最小，試確定D點(diǎn)的位置，并求y的最小值．

Answer 1

解：設(shè)CD=1，則AB=2，再設(shè)AD=x，得BD=2-x，（0＜x＜2）
∵Rt△ACD中，tanA==，Rt△BCD中，tanB==
∴
==
∵；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)
∴當(dāng)時(shí)，y取得最小值
此時(shí)，
∴
答：取AD：DB=1：時(shí)，y有最小值
分析：首先設(shè)CD=1，則AB=2，再設(shè)AD=x，得BD=2-x，（0＜x＜2），然后根據(jù)直角三角形中三角函數(shù)的定義，得到tanA=且tgB=，代入y=tanA+2tanB的表達(dá)式，再進(jìn)行配湊，得到y(tǒng)=，最后通過(guò)基本不等式討論分母的最小值，可得y的最小值是．根據(jù)取等號(hào)的條件得到：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到這個(gè)最小值，求出AD與DB的比值，從而確定D點(diǎn)的位置，問(wèn)題得到解決．
點(diǎn)評(píng)：本題借助于一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)求函數(shù)的最小值，著重考查了任意角三角函數(shù)的定義、基本不等式和函數(shù)的值域與最值等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．