Question

已知復(fù)數(shù)Z=iC_n¹+i²C_n²+…+iⁿC_nⁿ（其中i為虛數(shù)單位），以下判斷中正確的為

1. A.
   不存在n∈N^*，使Z為純虛數(shù)
2. B.
   對任意的n∈N^*，Z為實數(shù)
3. C.
   存在無限個n∈N^*，使Z為實數(shù)
4. D.
   不存在n∈N^*，使Z為實數(shù)

Answer 1

C
分析：利用二項式定理得到Z=iC_n¹+i²C_n²+…+iⁿC_nⁿ=（1+i）ⁿ-1，因為當(dāng)n=4k（k∈Z）時，（1+i）ⁿ-1=（1+i）^4k-1得到存在無限個n∈N^*，使Z為實數(shù)．
解答：Z=iC_n¹+i²C_n²+…+iⁿC_nⁿ=（1+i）ⁿ-1，
因為當(dāng)n=4k（k∈Z）時，（1+i）ⁿ-1=（1+i）^4k-1=（-4）^k-1∈R
所以當(dāng)n=4k（k∈Z）時，復(fù)數(shù)Z=iC_n¹+i²C_n²+…+iⁿC_nⁿ（其中i為虛數(shù)單位）為實數(shù)，
故選C．
點評：本題考查二項式定理的展開式的靈活應(yīng)用，在高考中常出現(xiàn)在小題中，屬于基礎(chǔ)題．