Question

設(shè)z₁，z₂是兩個虛數(shù)，且z₁+z₂=-3，|z₁|+|z₂|=4．若θ₁=argz₁，θ₂=argz₂，求cos（θ₁-θ₂）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，設(shè)|z₁|=r，則|z₂|=4-r（0＜r＜4），根據(jù)arg的意義，可得z₁=r（cosθ₁+isinθ₁），z₂=（4-r）（cosθ₂+isinθ₂），將其代入z₁+z₂=-3，可得，兩式平方相加，整理變形可得cos（θ₁-θ₂）與r的關(guān)系式，分析可得答案．
解答：解：設(shè)|z₁|=r，則|z₂|=4-r（0＜r＜4）．
將z₁=r（cosθ₁+isinθ₁），z₂=（4-r）（cosθ₂+isinθ₂），代入z₁+z₂=-3，得

兩式平方相加，得r²+（4-r）²+2r（4-r）（cosθ₁cosθ₂+sinθ₁sinθ₂）=9，
于是cos（θ₁-θ₂）==1+，
當r=2時，cos（θ₁-θ₂）取最大值．
點評：本題有一定的難度，注意根據(jù)題意中的條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的三角表示方法進行解題．