Question

已知函數(shù)f（x）=（

1

2x-1

+

1

2

）x³．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）證明 f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)的解析式可得 2^x-1≠0，解得x≠0，由此求得函數(shù)的定義域．
（2）顯然函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，再根據(jù)f（-x）=f（x），可得函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
（3）當x＞0時，

1

2x-1

+

1

2

＞

1

2

，x³＞0，可得函數(shù)f（x）＞0．當x＜0時，同理證的函數(shù)f（x）＞0．
綜上可得f（x）＞0 成立．

解答：解：（1）由函數(shù)的解析式可得 2^x-1≠0，解得x≠0，故函數(shù)的定義域為 {x|x∈R，且 x≠0}．
（2）顯然函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，f（-x）=（

1

2-x-1

+

1

2

）（-x）³=（

2x

1-2x

+

1

2

）（-x）³ 
=（

2x-1+1

1-2x

+

1

2

）（-x）³
=（-1+

1

1-2x

+

1

2

）（-x）³=-（

1

2x-1

+

1

2

）（-x）³=（

1

2x-1

+

1

2

）x³ =f（x），
故函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
（3）當x＞0時，

1

2x-1

+

1

2

＞

1

2

，x³＞0，∴函數(shù)f（x）=（

1

2x-1

+

1

2

）x³ ＞0．
當x＜0時，

1

2x-1

＜-1，

1

2x-1

+

1

2

＜0，x³＜0，∴函數(shù)f（x）=（

1

2x-1

+

1

2

）x³ ＞0．
綜上可得，f（x）＞0．

點評：本題主要考查求函數(shù)的定義域，函數(shù)的奇偶性的判斷方法，不等式的性質(zhì)應用，屬于中檔題．