已知函數(shù)f（x）滿足xf（x）=b+cf（x），b≠0，f（2）=-1，且f（1-x）=-f（x+1）對兩邊都有意義的任意 x都成立
（1）求f（x）的解析式及定義域
（2）寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間，并用定義證明在各單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)？
【答案】分析：（1）由xf（x）=b+cf（x）可求得f（x））=，由f（1-x）=-f（x+1）可得c值，由f（2）=-1可得b值，由表達(dá)式可得定義域；
（2）借助基本函數(shù)的單調(diào)性易求其單調(diào)區(qū)間，用定義即可證明；
解答：解：（1）由xf（x）=b+cf（x），b≠0，∴x≠c，得f（x）=，
由f（1-x）=-f（x+1），得=-，解得c=1，
由f（2）=-1，得-1=，解得b=-1，
∴f（x）==，
∵1-x≠0，∴x≠1，即f（x）的定義域為{x|x≠1}．
（2）f（x）的單調(diào)區(qū)間為（-∞，1），（1，+∞）且都為增區(qū)間，
證明：當(dāng)x∈（-∞，1）時，設(shè)x1＜x2＜1，
則1-x1＞0，1-x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）=-=，
∵1-x1＞0，1-x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增．同理f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
點評：本題考查函數(shù)解析式的求解及單調(diào)區(qū)間的證明，屬基礎(chǔ)題，定義是證明函數(shù)單調(diào)性的基本方法．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）f（y），（x，y∈R）且f(1)=
1
2
．
（1）若n∈N*時，求f（n）的表達(dá)式；
（2）設(shè)bn=
nf(n+1)
f(n)
  (n∈N*)，sn=b1+b2+…+bn，求
1
s1
+
1
s2
+…+
1
sn
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x） 滿足f（x+4）=x3+2，則f-1（1）等于（　�。�

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已知函數(shù)f（x）滿足f（x）+f'（0）-e-x=-1，函數(shù)g（x）=-λlnf（x）+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)．
（1）當(dāng)x≥0時，曲線y=f（x）在點M（t，f（t））的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積為S（t），求S（t）的最大值；
（2）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]時恒成立，求t的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=-lnf（x）-ln（x+m），常數(shù)m∈Z，且m＞1，試判定函數(shù)h（x）在區(qū)間[e-m-m，e2m-m]內(nèi)的零點個數(shù)，并作出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）滿足：f（p+q）=f（p）f（q），f（1）=3，則
f2(1)+f(2)
f(1)
+
f2(2)+f(4)
f(3)
+
f2(3)+f(6)
f(5)
+
f2(4)+f(8)
f(7)
=
24．
24．
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•珠海二模）已知函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x≥1時，f（x）=f（x-1）；當(dāng)x＜1時，f（x）=2x，則f（log27）=（　�。�

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