Question

已知☉O:x²+y²=1和定點A(2,1),由☉O外一點P(a,b)向☉O引切線PQ,切點為Q,且滿足|PQ|=|PA|.

(1)求實數(shù)a,b間滿足的等量關系.
(2)求線段PQ長的最小值.
(3)若以P為圓心所作的☉P與☉O有公共點,試求半徑取最小值時☉P的方程.

Answer 1

(1) 2a+b-3=   (2)   (3) (x-)²+(y-)²=(-1)²

(1)連接OP,

∵Q為切點,
∴PQ⊥OQ,
由勾股定理有|PQ|²=|OP|²-|OQ|².
又由已知|PQ|=|PA|,故|PQ|²=|PA|².
即(a²+b²)-1²=(a-2)²+(b-1)².
化簡得實數(shù)a,b間滿足的等量關系為:2a+b-3=0.
(2)方法一:由2a+b-3=0,得b=-2a+3.
|PQ|==
==.
故當a=時,|PQ|_min=.即線段PQ長的最小值為.
方法二:由(1)知,點P在直線l:2x+y-3=0上.
∴|PQ|_min=|PA|_min,即求點A到直線l的距離.
∴|PQ|_min==.
(3)設☉P的半徑為R,
∵☉P與☉O有公共點,☉O的半徑為1,
∴|R-1|≤|OP|≤R+1.
即R≥||OP|-1|且R≤|OP|+1.
而|OP|==
=,
故當a=時,|OP|_min=.
此時,b=-2a+3=,R_min=-1.
得半徑取最小值時☉P的方程為(x-)²+(y-)²=(-1)².