Question

過(guò)拋物線(xiàn)y²=4x頂點(diǎn)O的直線(xiàn)l₁、l₂與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，l₁⊥l₂，OD⊥AB，垂足為D，則D點(diǎn)的軌跡方程為（　�。�

• A、y²=x（x≠0）
• B、

  x2

  4

  -y2=1(x≥2）
• C、（x-2）²+y²=4（x≠0）
• D、（x-2）²+y²=4

Answer 1

分析：設(shè)出直線(xiàn)OA的方程，根據(jù)l₁⊥l₂，可得直線(xiàn)OB的方程，聯(lián)立方程組，分別求出點(diǎn)A和點(diǎn)B，得到直線(xiàn)AB的方程，發(fā)現(xiàn)直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)（4，0），利用幾何關(guān)系可得點(diǎn)D到定點(diǎn)（2，0）的距離等于定長(zhǎng)2，可得點(diǎn)D的軌跡方程．

解答：解：設(shè)直線(xiàn)OA的方程為y=kx，則

y=kx y2=4x

，消去y得x=

4

k2

，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

4

k2

，

4

k

），
∵l₁⊥l₂，
∴直線(xiàn)OA的方程為y=-

1

k

x，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4k²，-4k），
則直線(xiàn)AB的斜率為

4 k +4k

4 k2 -4k2

=

k

1-k2

，
∴直線(xiàn)AB的方程為y+4k=

k

1-k2

（x-4k²），
整理可得，y=

k

1-k2

（x-4），
故直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（4，0），
∵OD⊥AB，垂足為D，則OD的垂直平分線(xiàn)必定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0），
∴點(diǎn)（2，0）到原點(diǎn)O的距離等于到點(diǎn)D的距離，
又點(diǎn)（2，0）到原點(diǎn)O的距離為2，
∴點(diǎn)D到定點(diǎn)（2，0）的距離恒為定值2，
根據(jù)圓的定義可知，點(diǎn)D的軌跡是一個(gè)以（2，0）為圓心，2為半徑的一個(gè)圓，
∴點(diǎn)D的軌跡方程為（x-2）²+y²=4，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了交點(diǎn)軌跡問(wèn)題，此題為教材習(xí)題的改編題，其中直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（4，0）是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．