集合A是由適合以下性質的函數(shù)組成：對于任意x≥0，f（x）∈[-2，4]，且f（x）在（0，+∞） 上是增函數(shù)．
（1）試判斷f1(x)=
x
-2及f2(x)=4-6•(
1
2
)x是否在集合A中，并說明理由；
（2）若定義：對定義域中的任意一個x都有不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）恒成立，則稱這個函數(shù)為凸函數(shù)．對于（1）中你認為在集合A中的函數(shù)f（x）是凸函數(shù)嗎？試證明你的結論．
分析：（1）依據(jù)集合A的定義逐一判斷即可．
（2）驗證（1）中屬于集合A的函數(shù)是否滿足凸函數(shù)的定義即可．
解答：解：（1）當x=49時，f1(49)=
49
-2=5∉[-2，4]，所以f1（x）∉A；
當x≥0時，(
1
2
)x∈(0，1]，4-6(
1
2
)x∈[-2，4），所以f2（x）∈[-2，4]，
又當x＞0時，(
1
2
)x單調(diào)遞減，∴f2(x)=4-6(
1
2
)x單調(diào)遞增，
故f2（x）∈A．
（2）因為f2（x）+f2（x+2）-2f2（x+1）=[4-6(
1
2
)x]+[4-6(
1
2
)x+2]-2[4-6(
1
2
)x+1]
=12(
1
2
)x+1-6(
1
2
)x-6(
1
2
)x+2=-
3
2
(
1
2
)x＜0，所以，f2（x）+f2（x+2）＜2f2（x+1）．
即f2（x）對任意x都有不等式f2（x）+f2（x+2）＜2f2（x+1）成立．
故f2（x）是凸函數(shù)．
點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，利用所學知識解決新問題的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

集合A是由適合以下性質的函數(shù)f（x）構成的，對于任意的x＞0  y＞0且x≠y都有f（x）+2f（y）＞3f(
x+2y
3
)
（1）試判斷f1（x）=log2x及f2（x）=（x+1）2是否在集合A中？并說明理由
（2）設f（x）∈A，且定義域是（0，+∞），值域是（1，2），f(1)＞
3
2
，寫出一個滿足上述條件的解析式；并證明此函數(shù)f（x）∈A．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

集合A是由適合以下性質的函數(shù)f（x）組成的，對于任意的x≥0，f（x）∈[-2，4）且f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（1）試判斷f1（x）=
x
-2及f2（x）=4-6?（
1
2
）x（x≥0）是否在集合A中，若不在集合A中，試說明理由；
（2）對于（1）中你認為是集合A中的函數(shù)f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）是否對于任意x≥0總成立？試證明你的結論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

集合A是由適合以下性質的函數(shù)f（x）構成的：對于定義域內(nèi)任意兩個不相等的實數(shù)x1，x2，都有
1
2
[f(x1)+f(x2)]＞f(
x1+x2
2
)．
（1）試判斷f（x）=x2及g（x）=log2x是否在集合A中，并說明理由；
（2）設f（x）∈A且定義域為（0，+∞），值域為（0，1），f(1)＞
1
2
，試求出一個滿足以上條件的函數(shù)f （x）的解析式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

集合A是由適合以下性質的函數(shù)f（x）構成的：對于任意的，且u、υ∈（-1，1），都有|f（u）-f（υ）|≤3|u-υ|．
（1）判斷函數(shù)f1(x)=
1+x2
是否在集合A中？并說明理由；
（2）設函數(shù)f（x）=ax2+bx，且f（x）∈A，試求2a+b的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若f（2）=6，且對于滿足（2）的每個實數(shù)a，存在最小的實數(shù)m，使得當x∈[m，2]時，|f（x）|≤6恒成立，試求用a表示m的表達式．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案