Question

已知直線(xiàn)l：y=4x+a和曲線(xiàn)C：f（x）=x³-2x²+3相切．
（1）求a的值；
（2）求切點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,直線(xiàn)與圓

分析：設(shè)切點(diǎn)為（m，n），則4m+a=n，n=m³-2m²+3，求出導(dǎo)數(shù)，再由切線(xiàn)的斜率，得到方程，即可解得m，進(jìn)而得到n，a．

解答： 解：設(shè)切點(diǎn)為（m，n），則4m+a=n，
n=m³-2m²+3，
又f（x）=x³-2x²+3的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-4x，
由于直線(xiàn)l：y=4x+a和曲線(xiàn)C：f（x）=x³-2x²+3相切，
則f′（m）=4，即有3m²-4m=4，解得，m=2或m=-

2

3

，
則m=2，n=3，a=-5或m=-

2

3

，n=

49

27

，a=

121

27

．
則（1）a=-5或

121

27

；
（2）切點(diǎn)為（2，3），或（-

2

3

，

49

27

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線(xiàn)在該點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率，考查直線(xiàn)的斜率及解方程的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．