Question

14．在Rt△ABC中，BC=2，∠C=90°，點D滿足$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DB}$，則$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CD}$=$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 運用向量的數(shù)量積的定義可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cosA=AC²，再由向量的加減運算和向量的平方即為模的平方，計算即可得到所求值．

解答 解：在Rt△ABC中，BC=2，∠C=90°，
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cosA=AC²，且AB²-AC²=BC²=4，
由$\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DB}$，可得$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
則$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CD}$=（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AC}$）
=（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）•（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）
=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$²-$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AC}$²
=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$²-$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{AC}$²+$\overrightarrow{AC}$²=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AB}$²-$\overrightarrow{AC}$²）
=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BC}$²=$\frac{2}{3}$×4=$\frac{8}{3}$．
故答案為：$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質，主要是向量的平方即為模的平方，考查運算求解能力，屬于中檔題．