Question

已知定義域為R的函數(shù)f(x)=

b-2x

2x+a

是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）用定義證明f（x）在R上為減函數(shù)；
（3）若對于任意t∈[-2，2]，不等式f（t²-2t）+f（-2t²+k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)是R上的奇函數(shù)，利用f（0）=0，即可求出a，b的值；
（2）根據(jù)函數(shù)單調性的定義證明f（x）在R上為減函數(shù)；
（3）根據(jù)函數(shù)單調性和奇偶性的性質，將不等式f（t²-2t）+f（-2t²+k）＜0恒成立進行轉化，即可求k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵定義域為R的函數(shù)f(x)=

b-2x

2x+a

是奇函數(shù)．
∴f（0）=

b-1

1+a

=0，解得b=1．
由f（-1）=-f（1）得

1-2-1

2-1+a

=-

1-2

2+a

，
解得a=1，
此時f（x）=

1-2x

1+2x

，滿足f（-x）=-f（x），
及函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）用定義證明f（x）在R上為減函數(shù)；
∵f（x）=

1-2x

1+2x

=1+

2

1+2x

，
設x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=

2

1+2x1

-

2

1+2x2

=

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x2-2x1＞0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，
∴

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
及f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在R上為減函數(shù)．
（3）由（1）（2）函數(shù)為奇函數(shù)且為減函數(shù)，
∴不等式f（t²-2t）+f（-2t²+k）＜0恒成立，等價為
f（t²-2t）＜-f（-2t²+k）=f（2t²-k），
即t²-2t＞2t²-k對t∈[-2，2]，
及k＞t²+2t對t∈[-2，2]恒成立，
∵y=t²+2t=（t+1）²-1在t∈[-2，2]上的最大值為8，
∴k＞8，
即k的取值范圍是k＞8．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調性的判斷和應用，利用函數(shù)的奇偶性和單調性將不等式轉化為參數(shù)恒成立是解決本題的關鍵，綜合性較強．