Question

已知正方形的內(nèi)切圓和外接圓的面積之比為1：2，那么正方體的內(nèi)切球、外接球以及與棱相切的球的體積之比為

1：3

3

：2

2

．

Answer 1

分析：設(shè)出正方體的棱長(zhǎng)為a，分別求出正方體的內(nèi)切球與其外接球的半徑，然后求出體積比．再根據(jù)長(zhǎng)為a的正方體內(nèi)有一個(gè)球，與這個(gè)正方體的12條棱都相切，則球的直徑等于正方體兩條不相鄰且平行的棱之間的距離結(jié)合球及正方體的幾何特征得到球半徑，代入球的體積公式，即可得到答案．

解答：解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則它的內(nèi)切球的半徑為

1

2

a，它的外接球的半徑為

3

2

a，
故所求的比為1：3

3

，
若球與這個(gè)正方體的12條棱都相切，
則球心在到12條棱的距離均相等
則球的直徑等于正方體兩條不相鄰且平行的棱之間的距離
即當(dāng)正方體的棱長(zhǎng)為a時(shí)，則球的直徑等于正方體任一面對(duì)角線的長(zhǎng)度
∴2R=

2

a
則R=

2

2

a
則V=

4

3

πR3=

2

3

πa3
那么正方體的內(nèi)切球、外接球以及與棱相切的球的體積之比為 1：3

3

：2

2

故答案為：1：3

3

：2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正方體的內(nèi)切球和外接球的體積等，是基礎(chǔ)題，其中根據(jù)正方體及球的幾何特征及已知條件求出球的半徑，是解答本題的關(guān)鍵．