Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)=

1 |x-3| ，x≠3 1，x=3

，若關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（0，1）
• B、（-∞，-1）
• C、（1，+∞）
• D、（-∞，-2）∪（-2，-1）

Answer 1

分析：題中原方程f²（x）+af（x）+b=0有且只有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解，即要求對(duì)應(yīng)于f（x）=某個(gè)常數(shù)有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解，故先根據(jù)題意作出f（x）的簡(jiǎn)圖，由圖可知，只有當(dāng)f（x）=1時(shí)，它有三個(gè)根．且當(dāng)f（x）=k，K＞0且k≠1時(shí)，關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解，據(jù)此即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵題中原方程f²（x）+af（x）+b=0有且只有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
∴即要求對(duì)應(yīng)于f（x）等于某個(gè)常數(shù)有3個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
∴故先根據(jù)題意作出f（x）的簡(jiǎn)圖：
由圖可知，只有當(dāng)f（x）=1時(shí)，它有三個(gè)根．
故關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=0中，
有：1+a+b=0，b=-1-a，
且當(dāng)f（x）=k，k＞0且k≠1時(shí)，關(guān)于x的方程f²（x）+af（x）+b=0有5個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
∴k²+ak-1-a=0，
a=-1-k，∵k＞0且k≠1，
∴a∈（-∞，-2）∪（-2，-1）
故選D．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷．