【題目】已知函數(shù)，，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（1）若曲線在處的切線與曲線也相切．

①求實(shí)數(shù)a的值；

②求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，恰好有2個(gè)零點(diǎn)．

【答案】（1）①，②函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）①利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在處的切線方程，再利用切線與曲線也相切，可求得的值；②由①知，對(duì)絕對(duì)值內(nèi)的數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，再利用導(dǎo)數(shù)分別研究分段函數(shù)的單調(diào)性.

（2）由，得，令，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，再利用零點(diǎn)存在定理證明函數(shù)的極小值小于0，及，即證得結(jié)論；

（1）①由得，所以切線的斜率．

因?yàn)榍悬c(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線的方程為．

設(shè)曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為．

由得，

所以，得．

所以切點(diǎn)坐標(biāo)為．

因?yàn)辄c(diǎn)也在直線上．所以．

②由①知．

當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)?/span>恒成立，所以在上單調(diào)遞增．

當(dāng)時(shí)，．

所以．

因?yàn)?/span>恒成立，所以在上單調(diào)遞增．

注意到，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

綜上，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．

（2）由，得．

令，，當(dāng)時(shí)，，

故在上單調(diào)遞增．

又因?yàn)?/span>，且，

所以在上有唯一解，從而在上有唯一解．

不妨設(shè)為，則．

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．

故是的唯一極值點(diǎn)．

令，則當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，

從而當(dāng)時(shí)，，即，

所以，

又因?yàn)?/span>，所以在上有唯一零點(diǎn)．

又因?yàn)?/span>在上有唯一零點(diǎn)，為1，

所以在上恰好有2個(gè)零點(diǎn)．

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