Question

橢圓T的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，右焦點(diǎn)為F（2，0），且橢圓T過點(diǎn)E（2，）．△ABC的三個頂點(diǎn)都在橢圓T上，設(shè)三條邊的中點(diǎn)分別為M，N，P．
（1）求橢圓T的方程；
（2）設(shè)△ABC的三條邊所在直線的斜率分別為k₁，k₂，k₃，且k_i≠0，i=1，2，3．若直線OM，ON，OP的斜率之和為0，求證：為定值．

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓T的方程為（a＞b＞0），
由題意知：左焦點(diǎn)為F′（-2，0），所以2a=|EF|+|EF′|=+3，
解得a=2，
∵c=2，∴=2．
故橢圓T的方程為…（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），M（s₁，t₁），N（s₂，t₂），P（s₃，t₃），
由：，，兩式相減，得到
（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0
所以=，即，…（9分）
同理，
所以，
又因?yàn)橹本�OM，ON，OP的斜率之和為0，
所以=0 …（13分）
分析：（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用橢圓的定義，即可確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）利用點(diǎn)差法，確定三條邊所在直線的斜率，結(jié)合直線OM，ON，OP的斜率之和為0，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．