Question

一個(gè)盒子內(nèi)裝有八張卡片，每張卡片上面分別寫著下列函數(shù)中的一個(gè)：f₁（x）=x，f₂（x）=2^x，f₃（x）=ln（|x|+3），f₄（x）=sinx，f₅（x）=|sinx|，f₆（x）=cosx，f₇（x）=cos|x|，f₈（x）=3，而且不同卡片上面寫著的函數(shù)互不相同，每張卡片被取出的概率相等．
（1）如果從盒子中一次隨機(jī)取出兩張卡片，并且將取出的兩張卡片上的函數(shù)相加得到一個(gè)新函數(shù)，求所得新函數(shù)是奇函數(shù)的概率；
（2）現(xiàn)從盒子中一次隨機(jī)取出一張卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上寫著的函數(shù)是偶函數(shù)則停止取出卡片，否則繼續(xù)取出卡片．設(shè)取出了ξ次才停止取出卡片，求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）由題意記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù)”，利用列舉的方法分析清楚題意借助古典概型的概率計(jì)算公式即可求得；
（2）由題意分析出題設(shè)中的離散型隨機(jī)變量ξ可取1，2，3，4，利用古典概型的計(jì)算公式求出每一個(gè)值對(duì)應(yīng)下的事件的概率，再有分布列定義列出該隨機(jī)變量的分布列，并利用期望定義求得期望．

解答：解：（1）記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù)”，
∵在所給的八個(gè)函數(shù)中，奇函數(shù)有兩個(gè)：f₁（x）=x，f₄（x）=sinx；
偶函數(shù)有五個(gè)：f₃（x）=ln（|x|+3），f₅（x）=|sinx|，f₆（x）=cosx，f₇（x）=cos|x|，f₈（x）=3；
既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的有一個(gè)：f₂（x）=2^x．
由題意知P(A)=

1

C 2 8

=

1

28

．
答：所得新函數(shù)是奇函數(shù)的概率等于

1

28

．
（2）ξ可取1，2，3，4，根據(jù)題意得P(ξ=1)=

C 1 5

C 1 8

=

5

8

，P(ξ=2)=

C 1 3

C 1 8

•

C 1 5

C 1 7

=

15

56

，P(ξ=3)=

C 1 3

C 1 8

•

C 1 2

C 1 7

•

C 1 5

C 1 6

=

5

56

，
P(ξ=4)=

C 1 3

C 1 8

•

C 1 2

C 1 7

•

C 1 1

C 1 6

•

C 1 5

C 1 5

=

1

56

．
故ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4
P	5 8	15 56	5 56	1 56

Eξ=1×

5

8

+2×

15

56

+3×

5

56

+4×

1

56

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、排列組合、古典概型、隨機(jī)變量的分布列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問題的能力．