Question

有甲、乙兩種商品，經(jīng)銷(xiāo)這兩種商品所能獲得的利潤(rùn)分別是p萬(wàn)元和q萬(wàn)元．它們與投入資金x萬(wàn)元的關(guān)系是：p=

1

5

x，q=

3

5

x

．今有3萬(wàn)元資金投入經(jīng)營(yíng)這兩種商品，為獲得最大利潤(rùn)，對(duì)這兩種商品的資金分別投入多少時(shí)，能獲取最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)為多少？

Answer 1

分析：如果設(shè)對(duì)乙商品投入資金x萬(wàn)元，則對(duì)甲投入資金為（3-x）萬(wàn)元，獲取的利潤(rùn)為y萬(wàn)元；那么y=p+q，代入可得關(guān)于x的解析式，利用換元法得到二次函數(shù)f（t），再由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求導(dǎo)y的最大值，和對(duì)應(yīng)的t、x．

解答：解：設(shè)對(duì)乙商品投入資金x萬(wàn)元，則對(duì)甲投入資金為（3-x）萬(wàn)元，此時(shí)獲取利潤(rùn)為y萬(wàn)元；
則由題意知，y=p+q=

1

5

(3-x)+

3

5

x

=-

1

5

x+

3

5

x

+

3

5

(0≤x≤3)．
令

x

=t，則y=-

1

5

t²+

3

5

t+

3

5

=-

1

5

(t-

3

2

)2+

21

20

（其中0≤t≤

3

）；
根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，當(dāng)t=

3

2

時(shí)，y有最大值，為

21

20

；
又t=

3

2

，得

x

=

3

2

，∴x=

9

4

=2.25（萬(wàn)元），∴3-x=0.75（萬(wàn)元）；
所以，對(duì)甲投入資金0.75萬(wàn)元，對(duì)乙投資2.25萬(wàn)元時(shí)，獲取利潤(rùn)最大，為

21

20

萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了換元法的應(yīng)用，運(yùn)用換元法解題時(shí)，要注意換元前后函數(shù)自變量取值范圍的變化，以免出錯(cuò)．