Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx，當(dāng)x=-

2

2

時(shí)，f（x）取得極大值

2

3

，并且函數(shù)y=f′（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若曲線C對(duì)應(yīng)的解析式為g(x)=

1

2

f(x)+

1

2

x+

4

3

，求曲線過(guò)點(diǎn)P（2，4）的切線方程．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，得到函數(shù)是偶函數(shù)即f（x）=f（-x），得到b=0然后代入解析式中，又因?yàn)楫?dāng)x=-

2

2

時(shí)，f（x）取得極大值

2

3

得f（-

2

2

）=

2

3

，f′（-

2

2

）=0解出a與b得到f（x）的解析式；
（2）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），表示出切線方程把P（2，4）代入切線方程得切點(diǎn)坐標(biāo)，代入切線方程即可．

解答：解：（1）∵f′（x）=3ax²+2bx+c為偶函數(shù)，∴f（x）=f（-x），
∴3ax²-2bx+c=3ax²+2bx+c，
∴2bx=0得到b=0，
∴f（x）=ax³+cx
又當(dāng)x=-

2

2

時(shí)，f（x）取得極大值

2

3

得
f（-

2

2

）=

2

3

，f′（-

2

2

）=0
∴解得

a= 2 3 b=-1

，
∴f（x）=

2

3

x³-x
（2）g(x)=

1

2

f(x)+

1

2

x+

4

3

=

1

3

x3+

4

3

，
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），則y0=

1

3

x3+

4

3

，k=g′(x)|x=x0=x02
切線方程為：y-(

1

3

x03+

4

3

)=x02(x-x0)，
代入點(diǎn)P（2，4）化簡(jiǎn)得：x₀³-3x₀²+4=0，解得x₀=-1，2，
所以切線方程為：x-y+2=0和4x-y-4=0．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)某點(diǎn)的切線方程的能力．