Question

在△ABC中，已知A（3，1），B（1，0），C（2，3），
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）若線段BA的延長(zhǎng)線上存在點(diǎn)P，使|

AP

|=

1

2

|

AB

|，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由題意求得|

AB

|=|

AC

|=

5

，

AB

⊥

AC

，從而得到△ABC的形狀．
（2）設(shè)點(diǎn)P（a，b），由

AP

=

1

2

BA

，即（a-3，p-1）=

1

2

（2，1 ），求得a、b的值，即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵在△ABC中，已知A（3，1），B（1，0），C（2，3），
∴

AB

=(-2，-1)，

AC

=(-1，2)，

AB

•

AC

=0，
∴|

AB

|=|

AC

|=

5

，

AB

⊥

AC

，∴△ABC的形狀是等腰直角三角形．
（2）設(shè)點(diǎn)P（a，b），則

AP

=（a，b）-（3，1）=（a-3，b-1）．
∵由題意可得

AP

=

1

2

BA

，即（a-3，b-1）=

1

2

（2，1 ）=（1，

1

2

），
∴a-3=1，b-1=

1

2

，解得 a=4，b=

3

2

，
故P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查判斷三角形的形狀的方法，兩個(gè)向量垂直的條件，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于中檔題．