Question

已知函數(shù)f（x）=x³-（k²-k+1）x²+5x-2，g（x）=k²x²+kx+1，其中k∈R，若函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）在區(qū)間（0，3）上不單調(diào)，則k的取值范圍為（　�。�

• A、[-4，-2）
• B、（-3，-1]
• C、（-5，-2]
• D、（-5，-2）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：因F（x）=f（x）+g（x）=x³+（k-1）x²+（k+5）x-1，先求導(dǎo)數(shù)：F′（x），因F（x）在區(qū)間（0，3）上不單調(diào)，得到F′（x）=0在（0，3）上有實(shí)數(shù)解，且無重根，再利用分離參數(shù)的方法得出k，最后再利用導(dǎo)數(shù)求出此函數(shù)的值域即可；

解答： 解：因F（x）=f（x）+g（x）=x³+（k-1）x²+（k+5）x-1，
F′（x）=3x²+2（k-1）x+（k+5），
因F（x）在區(qū)間（0，3）上不單調(diào)，
所以F′（x）=0在（0，3）上有實(shí)數(shù)解，且無重根，
由F′（x）=0得k（2x+1）=-（3x²-2x+5），
∴k=-

3x2-2x+5

2x+1

=-

3

4

[（2x+1）+

9

2x+1

-

10

3

]，
令t=2x+1，有t∈（1，7），記h（t）=t+

9

t

，
則h（t）在（1，3]上單調(diào)遞減，在[3，7）上單調(diào)遞增，
所以有h（t）∈[6，10），于是（2x+1）+

9

2x+1

∈[6，10）
得k∈（-5，-2]，而當(dāng)k=-2時(shí)有F′（x）=0在（0，3）上有兩個(gè)相等的實(shí)根x=1，故舍去，
所以k∈（-5，-2）；
故選：D．

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，同時(shí)考查了分析與解決問題的綜合能力，屬于中檔題．