Question

下列命題中：
①集合{x|1+x＜4，x∈N}是有限集，集合{x|x²+1=0，x∈R}是空集；
②函數(shù)y=log_x-1|x|的定義域?yàn)椋?，+∞）；
③函數(shù)y=lg

1+x

1-x

是奇函數(shù)；
④若方程（lgx）²-（lg2+lg3）lgx+lg2lg3=0的兩根為x₁、x₂，則x₁x₂=6
正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：①集合{x|1+x＜4，x∈N}是有限集，集合{x|x²+1=0，x∈R}是空集；由集合的定義判斷；
②函數(shù)y=log_x-1|x|的定義域?yàn)椋?，+∞）；由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義判斷；
③函數(shù)y=lg

1+x

1-x

是奇函數(shù)；由函數(shù)的性質(zhì)判斷；
④若方程（lgx）²-（lg2+lg3）lgx+lg2lg3=0的兩根為x₁、x₂，則x₁x₂=6，由二次函數(shù)的根系關(guān)系判斷

解答：解：①集合{x|1+x＜4，x∈N}是有限集，集合{x|x²+1=0，x∈R}是空集，此是一個(gè)正確命題，集合{x|1+x＜4，x∈N}有三個(gè)元素，集合{x|x²+1=0，x∈R}是空集；
②函數(shù)y=log_x-1|x|的定義域?yàn)椋?，+∞），由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義知

|x|≠0 x-1＞0 x-1≠1

解得x＞1且x≠2，故此命題不正確；
③函數(shù)y=lg

1+x

1-x

是奇函數(shù)，此是一個(gè)正確命題，令f(x)=lg

1+x

1-x

，則f(-x)=lg

1-x

1+x

=lg

1+x

1-x

=-f(x)，故函數(shù)是奇函數(shù)；
④若方程（lgx）²-（lg2+lg3）lgx+lg2lg3=0的兩根為x₁、x₂，則x₁x₂=6，此命題正確，因?yàn)榉匠痰膬筛鶠閤₁、x₂，則必有l(wèi)gx₁+lgx₂=lg2+lg3，即有x₁x₂=6
綜上得正確命題的序號(hào)為①③④
故答案為①③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，解答本題關(guān)鍵是正確理解對(duì)數(shù)的定義以及奇函數(shù)的定義等，本題是一個(gè)判斷正誤型的題涉及知識(shí)點(diǎn)較多，知識(shí)性強(qiáng)，需要有較寬廣的知識(shí)面．