(2012•河南模擬)當前人們普遍認為拓展訓練是一種挑戰(zhàn)極限、完善人格的訓練,某大學生拓展訓練中心著眼于大學生的實際情況,精心地設(shè)計了三個相互獨立的挑戰(zhàn)極限項目,并設(shè)置了如下計分辦法:
項目
挑戰(zhàn)成功得分 10 30 60
挑戰(zhàn)失敗得分 0 0 0
據(jù)調(diào)查,大學生挑戰(zhàn)甲項目的成功概率為
4
5
,挑戰(zhàn)乙項目的成功概率為
3
4
,挑戰(zhàn)丙項目的成功概率為
1
2

(1)求某同學三個項目至少一項挑戰(zhàn)成功的概率;
(2)記該同學挑戰(zhàn)三個項目后所得分數(shù)為X,求X的分布列并預測該同學所得分數(shù)的數(shù)學期望.
分析:(1)利用間接法能夠求出甲乙丙這三個項目至少一項挑戰(zhàn)成功的概率.
(2)由題意,X的可能取值為0,10,30,40,60,70,90,100,先分別求出P(X=0),P(X=10),P(X=30),P(X=40),P(X=60),P(X=70),P(X=90)和P(X=100),由此能求出X的分布列和E(X).
解答:解:(1)甲乙丙這三個項目至少一項挑戰(zhàn)成功的概率:
P=1-(1-
4
5
)(1-
3
4
)(1-
1
2
)=1-
1
40
=
39
40

(2)由題意,X的可能取值為0,10,30,40,60,70,90,100,
P(X=0)=
1
5
1
4
1
2
=
1
40
,
P(X=10)=
4
5
1
4
1
2
=
1
10
,
P(X=30)=
1
5
3
4
1
2
=
3
40
,
P(X=40)=
4
5
3
4
1
2
=
3
10
,
P(X=60)=
1
5
1
4
1
2
=
1
40

P(X=70)=
4
5
1
4
1
2
=
1
10

P(X=90)=
1
5
3
4
1
2
=
3
40
,
P(X=100)=
4
5
3
4
1
2
=
3
10
,
∴X的分布列為:
 X  0 10  30  40  60  70  90  100 
 P
1
40
 
 
1
10
 
3
40
 
3
10
 
1
40
 
1
10
 
3
40
 
3
10
∴E(X)=0×
1
40
+10×
1
10
+30×
3
40
+40×
3
10
+60×
1
40
+70×
1
10
+90×
3
40
+100×
3
10
=60.5.
即該同學所得分數(shù)的數(shù)學期望為60.5.
點評:本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望,解題時要認真審題,仔細解答,注意概率知識和排列組合知識的合理運用.
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