Question

已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程及其離心率；

（2）過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)）與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)的平分線為 時(shí)，求直線的斜率．

 

Answer 1

（1），；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，橢圓過(guò)點(diǎn)P，說(shuō)明點(diǎn)P在橢圓上，符合解析式，即可求出，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，通過(guò)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到，，，從而得到離心率；第二問(wèn)，由第一問(wèn)得到橢圓右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，由P、F點(diǎn)坐標(biāo)可知軸，由題意得，令直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立，得到A、B坐標(biāo)，結(jié)合P點(diǎn)坐標(biāo)，得出和代入到中，解出直線AB的斜率k的值.

（1）把點(diǎn)代入，可得．

故橢圓的方程為，橢圓的離心率為．　……4分

（2）由（1）知：．

當(dāng)的平分線為時(shí)，由和知：軸．

記的斜率分別為．所以，的斜率滿足……6分

設(shè)直線方程為，代入橢圓方程并整理可得，

．

設(shè)，則

又，則，

．……………………8分

所以=

…………11分

即． ． ……………13分

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題.