Question

（本小題滿分12分）

如圖，在五棱錐P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．

（Ⅰ）求證：平面PCD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求直線PB與平面PCD所成角的大小；

（Ⅲ）求四棱錐P—ACDE的體積．

Answer 1

【解析】（Ⅰ）證明：因?yàn)?sub>ABC=45°，AB=2，BC=4，所以在中，由余弦定理得：，解得，

所以，即，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥，

又PA，所以，又AB∥CD，所以，又因?yàn)?/p>

，所以平面PCD⊥平面PAC；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC，所以在平面PAC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A作于H，則

，又AB∥CD，AB平面內(nèi)，所以AB平行于平面，所以點(diǎn)A到平面的距離等于點(diǎn)B到平面的距離，過(guò)點(diǎn)B作BO⊥平面于點(diǎn)O，則為所求角，且，又容易求得，所以，即=，所以直線PB與平面PCD所成角的大小為；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，所以，又AC∥ED，所以四邊形ACDE是直角梯形，又容易求得，AC=，所以四邊形ACDE的面積為，所以四棱錐P—ACDE的體積為=。

【命題意圖】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直，線面的求解以及幾何體的體積計(jì)算問(wèn)題，考查了同學(xué)們的空間想象能力以及空間思維能力。

=，