Question

設(shè)a、b、c是兩兩互素的正整數(shù)，證明：2abc－be－ac－ab是不能表示為xbc＋yac＋zab形式的最大整數(shù)(其中x、y、z是非負(fù)整數(shù))．

Answer 1

證明：熟知在a、b互素時，對任意整數(shù)n有整數(shù)x、y，使ax＋by＝n．當(dāng)n＞ab－a－b時，首先取0≤x＜b(若x＞b則用x－b、y＋a代替x、y)，我們有

by＝n－ax＞ab－a－b－ax≥ab－a－b－a(b－1)＝－b

所以y＞－1也是非負(fù)整數(shù)．即n＞ab－a－b時，有非負(fù)整數(shù)x、y使ax＋by＝n．

因?yàn)閍、b、c兩兩互素，所以(bc，ac，ab)＝1．

令(bc，ac)＝d．則(ab，d)＝1，所以方程

abz＋dt＝n                                        (1)

有整數(shù)解，并且0≤z＜d(若z＞d則用z－d、t＋ab代替z、t)．

設(shè) bc＝da₁，ac＝db₁，那么(a₁，b₁)＝1．在n＞2abc－bc－ca－ab時，

即         t＞a₁b₁－a₁－b₁

從而方程  a₁x＋b₁y＝t                                          (2)

有非負(fù)整數(shù)解(x，y)．

由(1)與(2)消去t可得

bcx＋acy＋abz＝n

有非負(fù)整數(shù)解．

另一方面，若有非負(fù)整數(shù)x、y、z使

2abc－bc－ac－ah＝xbc＋yac＋zab

則                            bc(x＋1)＋ac(y＋1)＋ab(z＋1)＝2abc

于是應(yīng)有，a整除bc(x＋1)，因(a，bc)＝1．所以，a整除x＋1，從而c≤x＋1．同理有，b≤y＋1，c≤z＋1．因此

3abc＝bca＋acb＋abc≤bc(x＋1)

＋ac(y＋1)＋ab(z＋1)＝2abc

由于a、b、c都是正整數(shù)，這是不可能的，故2abc－bc－ca－ab不能表成xbc＋yca＋zab(x、y、z為非負(fù)整數(shù))的形式．