Question

（滿分12分）已知直線l經(jīng)過直線與 的交點.

（1）點到直線l的距離為1，求l的方程；

（2）求點到直線l的距離的最大值。

 

Answer 1

（1）或；（2）.

【解析】

試題分析：（1）依題意可得直線與 的交點為（2,1），當(dāng)l的斜率不存在時，方程為，滿足題意；當(dāng)l的斜率存在時，由點斜式方程得，即，由點到直線的距離得故方程為；（2）當(dāng)l的斜率不存在時，方程為，距離為1；當(dāng)l的斜率存在時，點A到直線l的距離為

=（k<0）, 當(dāng)且僅當(dāng)取等號, 點A到直線l的距離的最大值為 .

試題解析：方法一：（1）聯(lián)立解得交點， 1（分）

若直線l的斜率不存在，即方程為， 3（分）

此時點A到直線l的距離為1，滿足；

若直線l的斜率存在，設(shè)方程為，即，

∴，解得，直線方程為； 5（分）

綜合得：直線l的方程為或. 6 （分）

（2）若直線l的斜率不存在，即方程為，距離為1 7（分）

點A到直線l的距離為， 8 （分）

顯然時，d有最大值，且

當(dāng)且僅當(dāng)取等號 10（分）

∴點A到直線l的距離的最大值為 （12分）

方法二：（1）設(shè)經(jīng)過和的交點的直線方程為：

（2分）

（）+（

又因為點（1,0）到 距離為1 （4分）

故或

所以直線方程為或 （6分）

（2）由和得交點B（2，1） （9分）

依題意AB和直線垂直距離最大。又A（1，0）

距離最大值為 （12分）

考點：點到直線的距離及直線方程的求法