Question

橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為．點P（1，）、A、B在橢圓E上，且+=m（m∈R）．
（1）求橢圓E的方程及直線AB的斜率；
（2）當m=-3時，證明原點O是△PAB的重心，并求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設橢圓方程為（a＞b＞0），利用橢圓的離心率為，點P（1，）在橢圓E上，可求幾何量，從而可得橢圓方程，設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由，結合點差法，即可求得直線AB的斜率；
（2）證明△PAB的重心坐標為（0，0）即可，確定AB中點坐標，點差法求直線AB的斜率，即可求得直線AB的方程．
解答：解：（1）設橢圓方程為（a＞b＞0）
∵橢圓的離心率為，點P（1，）在橢圓E上，
∴=及
∴a²=4，b²=3，
∴橢圓方程為；
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由得（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1，），即
又，，
兩式相減得；
（2）由（1）知，點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐標滿足，
點P的坐標為（1，），m=-3，于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+=3++=0，
因此△PAB的重心坐標為（0，0）．即原點是△PAB的重心．
∵x₁+x₂=-1，y₁+y₂=-，∴AB中點坐標為（，），
又，，兩式相減得；
∴直線AB的方程為y+=（x+），即x+2y+2=0．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查點差法求直線的斜率，正確運用橢圓方程是關鍵．