Question

已知函數(shù)f（x）=2^|x-m|和函數(shù)g（x）=x|x-m|+2m-8．
（Ⅰ）若m=2，求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若方程f（x）=2^|m|在x∈[-4，+∞）恒有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若對(duì)任意x₁∈（-∞，4]，均存在x₂∈[4，+∞），使得f（x₁）=g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把m=2代入函數(shù)g（x）中，進(jìn)而求得g（x）的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得g（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）由題意可知|x-m|=|m|在x∈[-4，+∞）恒有唯一解．進(jìn)而分別看x-m=-m和x-m=m時(shí)根據(jù)x的范圍求得m的 范圍．
（Ⅲ）通過分析題設(shè)條件可知f（x）的值域應(yīng)是g（x）的值域的子集．進(jìn)而看當(dāng)4≤m≤8，m＞8，0＜m＜4和m≤0根據(jù)g（x）的單調(diào)性求得m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）m=2時(shí)，g(x)=

x2-2x-4  (x≥2) -x2+2x-4(x＜2)

，
函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（1，2）．
（Ⅱ）由f（x）=2^|x-m|在x∈[-4，+∞）恒有唯一解，2^|x-m|=2^|m|，得|x-m|=|m|在x∈[-4，+∞）
恒有唯一解．當(dāng)x-m=-m時(shí)，得x=0∈[-4，+∞）；
當(dāng)x-m=m時(shí)，得x=2m，則2m=0或2m＜-4，即m＜-2或m=0．
綜上，m的取值范圍是m＜-2或m=0．
（Ⅲ）f(x)=

2x-m (x≥m) 2m-x(x＜m)

，則f（x）的值域應(yīng)是g（x）的值域的子集．
①當(dāng)4≤m≤8時(shí)，f（x）在（-∞，4]上單調(diào)減，
故f（x）≥f（4）=2^m-4，g（x）在[4，m]上單調(diào)減，[m，+∞）上單調(diào)增，
故g（x）≥g（m）=2m-8，
所以2^m-4≥2m-8，解得4≤m≤5或6≤m≤8．
②當(dāng)m＞8時(shí)，f（x）在（-∞，4]上單調(diào)減，
故f（x）≥f（4）=2^m-4，g（x）在[4，

m

2

]單調(diào)增，[

m

2

，m]上單調(diào)減，[m，+∞）上單調(diào)增，g（4）=4m-16＞g（m）=2m-8
故g（x）≥g（m）=2m-8，所以2^m-4≥2m-8，解得4≤m≤5或m≥6．
③0＜m＜4時(shí)，f（x）在（-∞，m]上單調(diào)減，[m，4]上單調(diào)增，故f（x）≥f（m）=1．g（x）在[4，+∞）上單調(diào)增，故g（x）≥g（4）=8-2m，
所以8-2m≤1，即

7

2

≤m＜4．
④m≤0時(shí)，f（x）在（-∞，m]上單調(diào)減，[m，4]上單調(diào)增，故f（x）≥f（m）=1．g（x）在[4，+∞）上單調(diào)增，
故g（x）≥g（4）=8-2m，所以8-2m≤1，即m≥

7

2

．（舍去）
綜上，m的取值范圍是[

7

2

，5]∪[6，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性和及單調(diào)區(qū)間的問題．函數(shù)單調(diào)性的問題是函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，應(yīng)熟練掌握．