Question

二項(xiàng)式(x3+

1

5x2

)n的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為32，且此二項(xiàng)展開式中x¹⁰項(xiàng)的系數(shù)為a，則

∫

a 0

(x2+ex)dx的值為

e-

2

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為2ⁿ=32，求得 n=5．由此求得二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，令x的冪指數(shù)等于10，求得r=1，從而求得此二項(xiàng)展開式中x¹⁰項(xiàng)的系數(shù)為a=1，
從而求得

∫

a 0

(x2+ex)dx 的值．

解答：解：由于二項(xiàng)式(x3+

1

5x2

)n的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為2ⁿ=32，∴n=5．
故二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r 5

•5^-r•x^15-3r•x^-2r=5^-r•

C

r 5

•x^15-5r，令15-5r=10，r=1，
故此二項(xiàng)展開式中x¹⁰項(xiàng)的系數(shù)為a=

1

5

×5=1，則

∫

a 0

(x2+ex)dx=（

x3

3

+e^x）

|

1 0

=e-

2

3

，
故答案為 e-

2

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求定積分的值，屬于中檔題．