Question

已知f（x）是偶函數(shù)，x∈R，若將f（x）的圖象向右平移一個(gè)單位又得到一個(gè)奇函數(shù)，又f（2）=-1，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）=（ ）
A．-1003
B．1003
C．1
D．-1

Answer 1

【答案】分析：利用函數(shù)的奇偶性，及平移變換，從而得到函數(shù)f（x）是以4為周期的函數(shù)，再求出f（1）、f（3）、f（4），即可得出答案．
解答：解：∵函知f（x）是R上偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x）．
又將f（x）的圖象向右平移一個(gè)單位又得到一個(gè)奇函數(shù)，∴f（-x-1）=-f（x-1）．
∴f（x+1）=f（-x-1）=-f（x-1），
∴f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是以4為周期的函數(shù)．
對(duì)于式子f（-x-1）=-f（x-1），令x=0，則f（-1）=-f（-1），
∴f（-1）=0=f（1），
∴f（3）=f（-1）=0，
又f（2）=-1，
∴f（4）=-f（3-1）=-f（2）=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0-1+0+1=0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）=f（2009）+f（2010）+f（2011）
=f（1）+f（2）+f（3）=0-1+0=-1．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、周期性及對(duì)稱性，深刻理解以上性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．