Question

13．已知f（x）=m（x-2m）（x+m-3），g（x）=2^x-2，若任意x∈R，都有f（x）＞0或g（x）＞0，則m的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，2）．

Answer 1

分析 先判斷函數(shù)g（x）的取值范圍，然后根據(jù)ff（x）＞0或g（x）＞0．則可以求出m的取值范圍．

解答 解：g（x）=2^x-2＞0則x＞1，
又∵?x∈R，都有f（x）＞0或g（x）＞0，
∴f（x）=m（x-2m）（x+m-3）＞0在x≤1時(shí)恒成立，
即m（x-2m）（x+m+3）＞0在x≤1時(shí)恒成立，
則二次函數(shù)y=m（x-2m）（x+m-3）圖象開口只能向上，且與x軸交點(diǎn)都在（1，0）的右側(cè)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{2m＞1}\\{3-m＞1}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}$＜m＜2，
故答案為：（$\frac{1}{2}$，2）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)條件確定f（x）=m（x-2m）（x+m-3）＞0在x≤1時(shí)恒成立是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．