Question

（2012•洛陽模擬）已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁•a₅=33，a₂+a₄=14，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_n}的公差為正數(shù)，數(shù)列{b_n}滿足b_n=

1

Sn

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）設(shè){a_n}的公差為d，利用首項(xiàng)及公差d表示已知，解方程可求a₁，d，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求
（2）當(dāng)公差為正數(shù)時(shí)，結(jié)合（1）可求d，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求S_n，進(jìn)而可求b_n，結(jié)合數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，考慮利用裂項(xiàng)相消求解和

解答：解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，則

a1(a1+4d)=33 2a1+4d=14

解得

a1=3 d=2

或

a1=11 d=-2

因此a_n=3+2（n-1）=2n+1或a_n=11-2（n-1）=-2n+13 …．（6分）
（2）當(dāng)公差為正數(shù)時(shí)，d=2，S_n=3n+n（n-1）=n²+2n
∵bn=

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴Tn=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-2

-

1

n

+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

n(3n+5)

4(n+1)(n+2)

 …．（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，數(shù)列裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，裂項(xiàng)時(shí)要注意不要漏掉

1

2