Question

已知函數(shù)f（x）隊任意x，y∈R總有f（x）+f（y）=f（x+y），且當(dāng)x＞0時，f（x）＜0，．
（1）求證：f（x）為減函數(shù)；
（2）求f（x）在[﹣3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）設(shè)在R上任意取兩個數(shù)m，n且m＞n
則f（m）﹣f（n）=f（m﹣n）
∵m＞n∴m﹣n＞0
而x＞0時，f（x）＜0則f（m﹣n）＜0
即f（m）＜f（n）
∴f（x）為減函數(shù)；
（2）由（1）可知f（x）_max=f（﹣3），f（x）_min=f（3）．
∵f（x）+f（y）=f（x+y），令x=y=0
∴f（0）=0
令y=﹣x得f（x）+f（﹣x）=f（0）=0
即f（﹣x）=﹣f（x）
∴f（x）是奇函數(shù)
而f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）=﹣2，則f（﹣3）=2
∴f（x）_max=f（﹣3）=2，f（x）_min=f（3）=﹣2．