Question

如圖，在△ABC中，∠C為鈍角，點(diǎn)E，H分別是邊AB上的點(diǎn)，點(diǎn)K和M分別是邊
AC和BC上的點(diǎn)，且AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM．
（Ⅰ）求證：E、H、M、K四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）若KE=EH，CE=3，求線段KM的長．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：連接CH，∵AC=AH，AK=AE，∴四邊形CHEK為等腰梯形，
注意到等腰梯形的對角互補(bǔ)，
故C，H，E，K四點(diǎn)共圓，（3分）
同理C，E，H，M四點(diǎn)共圓，
即E，H，M，K均在點(diǎn)C，E，H所確定的圓上，證畢．（5分）
（Ⅱ）連接EM，
由（1）得E，H，M，C，K五點(diǎn)共圓，（7分）∵CEHM為等腰梯形，∴EM=HC，
故∠MKE=∠CEH，
由KE=EH可得∠KME=∠ECH，
故△MKE≌△CEH，
即KM=EC=3為所求．（10分）
分析：（Ⅰ）先由AC=AH，AK=AE得四邊形CHEK為等腰梯形，利用等腰梯形的對角互補(bǔ)可得C，H，E，K四點(diǎn)共圓；同理C，E，H，M四點(diǎn)共圓，即可得E，H，M，K均在點(diǎn)C，E，H所確定的圓上．
（Ⅱ）先由（1）得E，H，M，C，K五點(diǎn)共圓，再利用CEHM為等腰梯形得EM=HC，以及由KE=EH可得∠KME=∠ECH，推得△MKE≌△CEH，即可得線段KM的長．
點(diǎn)評：本題第一問考查四點(diǎn)共圓．證明四點(diǎn)共圓的常用方法有：對角互補(bǔ)；外角等于內(nèi)對角；證明四點(diǎn)在某三點(diǎn)確定的圓上等等．本題用的是方法三．