Question

定義：若函數(shù)在某一區(qū)間D上任取兩個實(shí)數(shù)、，且，都有，則稱函數(shù)在區(qū)間D上具有性質(zhì)L。

（1）寫出一個在其定義域上具有性質(zhì)L的對數(shù)函數(shù)（不要求證明）。

（2）對于函數(shù)，判斷其在區(qū)間上是否具有性質(zhì)L？并用所給定義證明你的結(jié)論。

（3）若函數(shù)在區(qū)間（0，1）上具有性質(zhì)L，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）有，證明見解析（3）

【解析】本題以函數(shù)為載體，考查新定義，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是對新定義的理解，恒成立問題采用分離參數(shù)法．

（1）寫出的函數(shù)是下凹的函數(shù)即可；

（2）函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)L，運(yùn)用定義法加以證明即可。

（3）任取x1、x2∈（0，1），且x1≠x2則＞0，只需要在x₁、x₂∈（0，1）上恒成立，故可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解：（1）（或其它底在（0，1）上的對數(shù)函數(shù)）�！�………2分

（2）函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)L�！�………3分

證明：任取、，且

則

、且，，

即>0，

所以函數(shù)在區(qū)間上具有性質(zhì)L�！�…………7分

（3）任取、，且

則

、且，，

要使上式大于零，必須在、上恒成立，

即，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為……………12分