Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M，N分別為A₁B₁，BC之中點(diǎn)．
（1）試求

A1A

AB

，使

A1B

•

B1C

=0．
（2）在（1）條件下，求二面角N-AC₁-M的大小．

Answer 1

分析：（1）以C₁點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，C₁A₁所在直線為x軸，C₁C所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A₁B₁=b，AA₁=a，分別求出

A1B

與

B1C

的坐標(biāo)，根據(jù)

A1B

•

B1C

=0求出a與b的關(guān)系，從而求出

A1A

AB

，
（2）在（1）條件下，不妨設(shè)b=2，則a=

2

，取AC₁中點(diǎn)為P，根據(jù)二面角的平面角的定義可知∠NPM為二面角N-AC₁-M的平面角，分別求出

PM

與

PN

的坐標(biāo)，計(jì)算它們的數(shù)量積即可求出此角．

解答：解：（1）以C₁點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，C₁A₁所在直線為x軸，C₁C所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)A₁B₁=b，AA₁=a（a，b∈（0，+∞）．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，則A₁，B，B₁，C的坐標(biāo)分別為：
（b，0，0），(

1

2

b，

3

2

b，a），(

1

2

b，

3

2

b，0），（0，0，a）．

A1B

•

B1C

=0．
∴

A1B

=(-

1

2

b，

3

2

b，a），

B1C

=(-

1

2

b，-

3

2

b，a)?

A1B • B1C =a2- 1 2 b2， 又 A1B • B1C =0.

?b=

2

a?

A1A

AB

=

a

b

=

2

2

．

（2）在（1）條件下，不妨設(shè)b=2，則a=

2

，
又A，M，N坐標(biāo)分別為（b，0，a），（

3

4

b，

3

4

b，0），（

1

4

b，

3

4

b，a）．
∴|AN|=

b

2

3

=

3

，|C1N|=

3

．∴|AN|=|C1N|=

3

同理|AM|=|C₁M|．
∴△AC₁N與△AC₁M均為以AC₁為底邊的等腰三角形，
取AC₁中點(diǎn)為P，則NP⊥AC₁，MP⊥AC₁?∠NPM為二面角N-AC₁-M的平面角，
而點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，0，

2

2

），
∴

PN

=(-

1

2

，

3

2

，

2

2

)．同理

PM

=(

1

2

，

3

2

，-

2

2

)．
∴

PM

•

PN

=-

1

4

+

3

4

-

1

2

=0?

PM

⊥

PN

．
∴∠NPM=90°?二面角N-AC₁-M的大小等于90°．

點(diǎn)評：本題主要考查了二面角及其度量，以及空間向量，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．