(選做題)請考生在A、B、C三題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分.作答時(shí)請寫清題號.
A.選修4-1(幾何證明選講)已知AD為圓O的直徑,直線BA與圓O相切與點(diǎn)A,直線OB與弦AC垂直并相交于點(diǎn)G,與弧AC相交于M,連接DC,AB=10,AC=12.
(Ⅰ)求證:BA•DC=GC•AD;(Ⅱ)求BM.
B.選修4-4(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)求直線
x=1+4t
y=-1-3t
(t為參數(shù))被曲線ρ=
2
cos(θ+
π
4
)
所截的弦長.
C.選修4-5(不等式選講)(Ⅰ)求函數(shù)y=3
x-5
+4
6-x
的最大值;
(Ⅱ)已知a≠b,求證:a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).
分析:A.(Ⅰ)因?yàn)锳C⊥OB,所以∠AGB=90°又AD是圓O的直徑,所以∠DCA=90°因?yàn)椤螧AG=∠ADC,所以Rt△AGB∽Rt△DCA所以
BA
AD
=
AG
DC
,由此能夠證明BA•DC=GC•AD.
(Ⅱ)因?yàn)锳C=12,所以AG=6,因?yàn)锳B=10,所以BG=
AB2-AG2
=8
,由Rt△AGB∽Rt△DCA,所以
AB
AD
=
BG
AC
,所以圓的直徑2r=15,由此能求出BM.
B.由
x=1+4t
y=-1-3t
得直線的普通方程為3x+4y+1=0,由ρ=
2
cos(θ+
π
4
)=cosθ-sinθ
,得(x-
1
2
)2+(y+
1
2
)2=
1
2
,再由點(diǎn)到直線的距離公式能名求出所求的弦長.
…(12分)
C.(Ⅰ)函數(shù)定義域?yàn)閇5,6],y>0.由y=3
x-5
+4
6-x
=3•
x-5
+4•
6-x
32+42
×
(
x-5
)
2
+(
6-x
)
2
=5
,能求出ymax
(Ⅱ)a4+6a2b2+b4-4ab(a2+b2
=a4-2a2b2+b4-4ab(a2-2ab+b2)
=(a-b)4,由此能夠證明a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).
解答:A.(Ⅰ)證明:因?yàn)锳C⊥OB,所以∠AGB=90°
又AD是圓O的直徑,所以∠DCA=90°
又因?yàn)椤螧AG=∠ADC(弦切角等于同弧所對圓周角)
所以Rt△AGB∽Rt△DCA所以
BA
AD
=
AG
DC

又因?yàn)镺G⊥AC,所以GC=AG
所以
BA
AD
=
GC
DC
,即BA•DC=GC•AD…(6分)
(Ⅱ)解:因?yàn)锳C=12,所以AG=6,
因?yàn)锳B=10,所以BG=
AB2-AG2
=8

由(1)知:Rt△AGB∽Rt△DCA,所以
AB
AD
=
BG
AC

所以AD=15,即圓的直徑2r=15
又因?yàn)锳B2=BM•(BM+2r),即BM2+15BM-100=0
解得BM=5.…(12分)
B.解:由
x=1+4t
y=-1-3t
得直線的普通方程為3x+4y+1=0,
ρ=
2
cos(θ+
π
4
)=cosθ-sinθ
,
∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ∴x2+y2=x-y,
(x-
1
2
)2+(y+
1
2
)2=
1
2
,
由點(diǎn)到直線的距離公式得圓心到直線的距離d=
1
10

∴所求的弦長為
1
2
-
1
100
=
7
5

…(12分)
C.解:(Ⅰ)函數(shù)定義域?yàn)閇5,6],y>0.
y=3
x-5
+4
6-x
=3•
x-5
+4•
6-x
32+42
×
(
x-5
)
2
+(
6-x
)
2
=5

當(dāng)且僅當(dāng)x-5=6-x時(shí),即當(dāng)x=
11
2
時(shí),
ymax=5.…(6分)
(Ⅱ)a4+6a2b2+b4-4ab(a2+b2
=a4-2a2b2+b4-4ab(a2-2ab+b2)

=(a2-b22-4ab(a-b)2=(a+b)2(a-b)2-4ab(a-b)2
=(a-b)2(a2+2ab+b2-4ab)=(a-b)2(a-b)=(a-b)4
∵a≠b,
(a-b)4>0
∴a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).…(12分)
點(diǎn)評:A考查直線與圓的位置關(guān)系,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意三角形相似的性質(zhì)和應(yīng)用;
B考查參數(shù)方程和極坐標(biāo),是基礎(chǔ)題.解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意圓的性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式的靈活運(yùn)用;
C考查不等式的性質(zhì)和證明,是基礎(chǔ)題.解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意作差法在不等式證明中的靈活運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
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(2012•湖南模擬)選做題(請考生在第16題的三個(gè)小題中任選兩題作答,如果全做,則按前兩題記分,要寫出必要的推理與演算過程)
(1)如圖,已知Rt△ABC的兩條直角邊BC,AC的長分別為3cm,4cm,以AC為直徑作圓與斜邊AB交于點(diǎn)D,試求BD的長.
(2)已知曲線C的參數(shù)方程為
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù)),求曲線C上的點(diǎn)到直線x-y+1=0的距離的最大值.
(3)若a,b是正常數(shù),a≠b,x,y∈(0,+∞),則
a2
x
+
b2
y
(a+b)2
x+y
,當(dāng)且僅當(dāng)
a
x
=
b
y
時(shí)上式取等號.請利用以上結(jié)論,求函數(shù)f(x)=
2
x
+
9
1-2x
(x∈0,
1
2
)的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

選做題:請考生在下列兩題中任選一題作答,若兩題都做,則按所做的第一題評閱計(jì)分.
(1)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 在極坐標(biāo)系下,已知直線l的方程為ρcos(θ-
π
3
)=
1
2
,則點(diǎn)M(1,
π
2
)到直線l的距離為
3
-1
2
3
-1
2

(2)(幾何證明選講選做題) 如圖,P為圓O外一點(diǎn),由P引圓O的切線PA與圓O切于A點(diǎn),引圓O的割線PB與圓O交于C點(diǎn).已知AB⊥AC,PA=2,PC=1.則圓O的面積為
4
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

選做題(請考生在兩個(gè)小題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評閱記分).
(1)在極坐標(biāo)系中,過圓ρ=6cosθ的圓心,且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程為
 

(2)若對于任意角θ,都有
cosθ
a
+
sinθ
b
=1
,則下列不等式中恒成立的是
 

A.a(chǎn)2+b2≤1B.a(chǎn)2+b2≥1C.
1
a2
+
1
b2
≤1
D.
1
a2
+
1
b2
≥1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)高三(上)起點(diǎn)數(shù)學(xué)試卷(文理合卷)(解析版) 題型:解答題

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(Ⅰ)求證:BA•DC=GC•AD;(Ⅱ)求BM.
B.選修4-4(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)求直線(t為參數(shù))被曲線所截的弦長.
C.選修4-5(不等式選講)(Ⅰ)求函數(shù)的最大值;
(Ⅱ)已知a≠b,求證:a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).

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同步練習(xí)冊答案