Question

據(jù)測(cè)算：2011年，某企業(yè)如果不搞促銷活動(dòng)，那么某一種產(chǎn)品的銷售量只能是1萬(wàn)件；如果搞促銷活動(dòng)，那么該產(chǎn)品銷售量（亦即該產(chǎn)品的年產(chǎn)量）m萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用x萬(wàn)元（x≥0）滿足m=3-

k

x+1

（k為常數(shù)）．已知2011年生產(chǎn)該產(chǎn)品的前期投入需要8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，企業(yè)將每件該產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（定價(jià)不考慮促銷成本）．
（1）若2011年該產(chǎn)品的銷售量不少于2萬(wàn)件，則該產(chǎn)品年促銷費(fèi)用最少是多少？
（2）試將2011年該產(chǎn)品的年利潤(rùn)y（萬(wàn)元）表示為年促銷費(fèi)用x（萬(wàn)元）的函數(shù)，并求2011年的最大利潤(rùn)．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x=0時(shí)，m=1，由m=3-

k

x+1

，可得k=2，所以m=3-

2

x+1

；
又m=3-

2

x+1

≥2，可得x≥1；即得該產(chǎn)品的年促銷費(fèi)用．
（2）每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×

8+16m

m

（元），則2011年的利潤(rùn)y=m•[1.5×

8+16m

m

]-(8+16m+x)，求函數(shù)的最大值，即利潤(rùn)最大．

解答：解：（1）由題意可知，當(dāng)x=0時(shí)，m=1（萬(wàn)件），即m=3-

k

x+1

，得k=2，所以m=3-

2

x+1

；
由題意，m=3-

2

x+1

≥2，解得x≥1；
所以，則該產(chǎn)品年促銷費(fèi)用最少是1萬(wàn)元．
（2）由題意，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×

8+16m

m

（元），
所以，2011年的利潤(rùn)函數(shù)：y=m•[1.5×

8+16m

m

]-(8+16m+x)
=4+8m-x=4+8×(3-

2

x+1

)-x=28-x-

16

x+1

；
因?yàn)閤≥0，

16

x+1

+(x+1)≥8，
所以y=-[

16

x+1

+(x+1)]+29≤-8+29=21，
當(dāng)且僅當(dāng)

16

x+1

=x+1，即x=3（萬(wàn)元）時(shí)，利潤(rùn)最大為21萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利潤(rùn)函數(shù)模型的應(yīng)用，也考查了應(yīng)用基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0）求函數(shù)最值問(wèn)題，屬于中檔題．