Question

7．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=5，S₃=21．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=（a_n-n-4）•2ⁿ，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₁=5，S₃=21．利用求和公式即可得出d，再利用通項(xiàng)公式即可得出．
（2）b_n=（a_n-n-4）•2ⁿ=（n-1）•2ⁿ．利用錯(cuò)位相減法即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₁=5，S₃=21．
∴$3×5+\frac{3×2}{2}$×d=21，解得d=2．
∴a_n=5+2（n-1）=2n+3．
（2）b_n=（a_n-n-4）•2ⁿ=（n-1）•2ⁿ．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=0+2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ．
2T_n=2³+2×2⁴+…+（n-2）•2ⁿ+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2²+2³+…+2ⁿ-（n-1）•2ⁿ⁺¹=$\frac{4（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（n-1）•2ⁿ⁺¹，
可得T_n=（n-2）•2ⁿ⁺¹+4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、錯(cuò)位相減法，考查了推理能力與計(jì)算能力屬于中檔題．