Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2cos（x+

π

4

）cos（x-

π

4

）．
（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；  
（2）設(shè)α∈（0，π），f（

α

2

）=

2

2

，求sinα的值．

Answer 1

分析：函數(shù)解析式第一項利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，第二項利用積化和差公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，
（1）根據(jù)正弦函數(shù)的遞減區(qū)間即可求出f（x）的遞減區(qū)間；
（2）由f（

α

2

）=

2

2

，求出α的度數(shù)，即可求出sinα的值．

解答：解：f（x）=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
（1）令2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得：kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈Z，
則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z；
（2）f（

α

2

）=

2

sin（α+

π

4

）=

2

2

，
∴α=

5π

6

-

π

4

，
則sinα=sin（

5π

6

-

π

4

）=

6 + 2

4

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．