Question

已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，點(diǎn)列(n，

Sn

n

)(n∈N+)在直線y=x上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）求數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用點(diǎn)列(n，

Sn

n

)(n∈N+)在直線y=x上，可得Sn=n2，再寫一式，兩式相減，即可得到結(jié)論；
（2）確定求數(shù)列{

1

anan+1

}的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法，即可求和．

解答：解：（1）依題意有

Sn

n

=n，即Sn=n2…（1分）
當(dāng)n=1時(shí)時(shí)，a₁=S₁=1…（2分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n-1…（5分）
又n=1時(shí)時(shí)上式也成立
∴a_n=2n-1，n∈N^*…（6分）
（2）

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（9分）
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查裂項(xiàng)法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．